2021年全国数学甲卷理科压轴大题解析

2021年全国数学甲卷理科压轴题的难度不大,中规中矩,考察指数函数和幂函数的知识点。

分析:第一问a的值已知,所以直接带入函数f(x)的表达式,求导即可;第二问考察曲线与直线相交,有两个交点,说明f(x)在正半轴不可能是单调的,而当a1时,由于指数函数的增长速度远快于幂函数,所以函数f(x)是先增后减的,因此只需要f(x)的最大值大于1即可。

f(0)=0,指数函数的增长速度大于幂函数,故当x趋于正无穷时,f(x)1一定成立,所以f(x)与y=1有两个交点等价于f(x)_{max}1。即

\Rightarrow t=1,此时a=e。当a=e时的函数图像如下图所示,最高点刚好是1。

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