2021年高考压轴卷 数学 含答案

注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20

题)两部分.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试

题的答案写在答.题.纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 参考公式:

锥体的体积公式:V=13Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把

4.某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方 差为

6.从 2 个红球,2 个黄球,1 个白球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是

9.已知双曲线的一条渐近线的方程为,则该双曲线.不等式组所表示的区域的面积为

12. 如图所示,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线 个不同

13. 在等差数列中,首项,公差,若某学生对其中连续 10 项进行求和,在遗漏掉一项的情况

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点.

如图,,是海岸线,上的两个码头,海中小岛有码头到海岸线,的距离分别为,.测得,.以

点为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以小时的平均速

度在水上旅游线航行(将航线看作直线,码头在第一象限,航线)问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟?

(2)海中有一处景点(设点在平面内,,且),游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线航行时离

(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线,切点分别为,(,不在坐标轴上),

(3)若,是椭圆上不同的两点,轴,圆过,,且椭圆上任意一点都不在圆内,则称圆为该椭

圆的一个内切圆.试问:椭圆是否存在过左焦点的内切圆?若存在,求出圆心的坐标;

19.已知函数. (1)当时,求的单调减区间; (2)若存在 m0,方程恰好有一个正根和一个负根,求实数的最大值. 20.(本大题满分 16 分)

已知数列的通项公式为,其中,,. (1)试写出一组,的值,使得数列中的各项均为正数; (2)若,,数列满足,且对任意的(),均有,写出所有满足条件的的值; (3)若,数列满足,其前项和为,且使(,,)的和有且仅有 4 组,,,…,中有至少个连续项的

注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的

21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答.卷. 纸.指.定.区.域.内.作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵,求矩阵的特征值和特征向量.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直 角坐标系,直线的参数方程为 (为参数),求直线被曲线所截得的弦长. D.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 设均为正数,且,求证:.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答.卷.卡.指.定.区.域.内.作答.解答 应写出

文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12,各自相互独立.现两人做投篮游戏,共比赛 3 局,每局 每人各投一球.

(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E(ξ). 23. (本小题满分 10 分) 若存在个不同的正整数,对任意,都有,则称这个不同的正整数为“个好数”. (1)请分别对,构造一组“好数”; (2)证明:对任意正整数,均存在“个好数”.

二、解答题 15. 解:(1)在△ 中,因为,设,则. 在△ 中,因为,,, 所以.

因为 PC/ 平面 BDE,OE平面 BDE,所以 PC // 平面 BDE. (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE. 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE平面 BDE,DE平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE. 因为 PA平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB. 17. 解:(1)由已知得,直线的方程为, 设,由及图得,, 直线的方程为,即, 由得即, ,即水上旅游线的长为. 游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行 30 分钟时间. (2)解法一:点到直线的垂直距离最近,则垂足为. 由(1)知直线的方程为, ,则直线的方程为, 所以解直线和直线的方程组,得点的坐标为(1,5). 解法 2:设游轮在线段上的点处,则,, . ,,, 当时,离景点最近,代入得离景点最近的点的坐标为(1,5). 18.解:(1)由题意得,,所以 又点在椭圆上,所以解得 所以椭圆的标准方程为 (2)由(1)知,设点 则直线的方程为 ① 直线的方程为 ② 把点的坐标代入①②得所以直线的方程为 令得令得 所以又点在椭圆上, 所以即为定值. (3)由椭圆的对称性,不妨设由题意知,点在轴上, 设点则圆的方程为 由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点的距离的最小值是 设点是椭圆上任意一点,则

当时,不合题意,舍去,且经验证,符合题意. 综上,椭圆存在过左焦点的内切圆,圆心的坐标是

19. 解:(1)当时, 当时,, 由,解得, 所以的单调减区间为, 当时,, 由,解得或, 所以的单调减区间为, 综上:的单调减区间为,.

当时, 同(1)的讨论可得,在上增,在上减, 在上增,在上减,在上增, 且函数有两个极大值点,

所以在时单调减,即, 等号当且仅当时取到. 所以,等号当且仅当时取到. 且此时, 即, 所以要使方程恰好有一个正根和一个负根,的最大值为. 20. 解:(1)、(答案不唯一).

(2)由题设,. 当,时,均单调递增,不合题意,因此,. 当时,对于, 当时,单调递减;当时,单调递增. 由题设,有,. 于是由及,可解得. 因此,的值为 7,8,9,10,11. (4)因为,且, 所以 因为(,,),所以、. 于是由,可得,进一步得, 此时,的四个值为,,,,因此,的最小值为. 又,,…,中有至少个连续项的值相等, 其它项的值均不相等,不妨设,于是有, 因为当时,,所以, 因此,,即的最小值为.

证明:连接 BD.因为 AB 为直径,所以 BD⊥AC. 因为 AB=BC,所以 AD=DC. 因为 DEBC,ABBC,所以 DE∥AB, 所以 CE=EB. 因为 AB 是直径,ABBC,所以 BC 是圆 O 的切线=EFEA,即 BECE=EFEA. B.选修 4—2:矩阵与变换 解:矩阵的特征多项式为, 由,解得,. 当时,特征方程组为 故属于特征值的一个特征向量.

圆心为,半径为, 直线的直角坐标方程为, 所以圆心到直线的距离为, 所以弦长. D.选修 4—5:不等式选讲 因为 x>0,y>0,x-y>0, , =, 所以. 22.(本小题满分 10 分)

甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球.

(2)证:①由(1)知当时均存在, ②假设命题当时,存在个不同的正整数,其中,

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